Integrales generalisees (1)

Objectifs

1. Problematisation

On s’interresse a la question de la decomposition d’un materiel radioactif. La question se pose en terme de probabilites : quelle est la probabilite qu’une particule se desintegre a un moment donne ?

Les modeles mathematiques qui permettent de donner une reponse a cette question vont donner une probabilite nulle aux evenements instantanes et une probabilite positive sur les intervalles de temps, non reduits a un singleton. Ces modeles font apparaitre des integrales de fonctions positives (qu’on appelle densites). Le premier modele qu’on retient pour modeliser le cas de la desintegration est utile de la loi exponentielle.

Loi exponentielle

Si l’on note X la variable aleatoire qui correspond au temps de desintegration d’une particule. On a

et depend du materiau


Question Quelle est la probabilite que l’on ait une desintegration apres un temps

Autrement dit, ?

Ce qu’on sait faire pour l’instant :

Integrale = Valeur d’une aire algebrique, comprise entre la courbe du graphe et la courbe des abscisses (entre ses bornes)

On pose une deuxieme borne arbitraire finie A :

On sait maintenant calculer l’aire sous la courbe entre T et A. On cherche a estimer l’aire entre T et A en faisant tendre Des qu’on parle de limite, il faut garder en memoire le fait que celle-ci peut ne pas exister.

Dans notre cas a une limite finie en donnee par Donc


Definitions

Definition (Integrale generalisee) : Soit f une fonction continue et definie sur avec . Une integrale generalisee est de l’une des 3 formes suivantes () :

  1. Definie : f est en fait continue sur
  2. Impropre a gauche (resp a droite) : f n’est pas definie en a (resp en b)
  3. Bilaterale : f n’est definie ni en a ni en b

Exemples

  1. est une integrale definie sur

1(bis). est bien definie sur ()

  1. est impropre a gauche (pas definie en 0)
  2. est bilaterale

Definition (integrale impropre a gauche convergente)

Soit une integrale impropre a gauche. On dit que converge si la fonction a une limite finie quand . On note dans ce cas

Note : La notation sert pour noter l’objet integrale generalisee mais egalement la valeur de l’aire algebrique comprise entre le graphe de la fonctione et l’axe des absisses, quand celle-ci existe (et pour cette raison il faut toujours se poser la question de la convergence d’une integrale avant d’en manipuler la somme)

Remarque : Le cas des integrales impropre a droite se traite de maniere similaire, la difference etant qu’on etudie la limite


Definition (integrale bilaterale convergente)

Une integrale bilaterale converge si pour un quelconque , les deux integrales et convergent.

Dans ce cas, la somme est donnee par :

Pourquoi cette definition ?


Exemples

On a une integrale impropre a droite. Soit , on s’interesse a On pose un

a une limite quand

est donc convergente et on a

Rappel integration par parties

admet une limite quand On a donc

C’est une integrale impropre a gauche. Soit

Cette expression tend vers quand . Cette integrale impropre n’est donc pas convergente.

C’est une integrale impropre a droite. Soit

Ainsi est CV et