Integrales Generalisees (2)

Rappel
Notre question de depart etait de donner du sens a l’integrale d’une fonction sur un intervalle infini ou pour une integrande mal defini au bord de l’intervall d;integration. Par exemple, pour definir lorsque l’intervalle en choisissant :

Cette expression en A calcule l’aire algebrique comprise entre le graphe de et l’axe des abscisses sur [0, A]. Elle admet une limite quand , c’est cette limite qu’on definit comme
On a ici :

On dit que est CV de valeur 1.

Lorsqu’on ne connait pas de primitives

Fait

On ne connait pas de primitive de fonction exprimable a l’aide des fonctions usuelles

La demarche adoptee jusqu’a present ne permet donc pas d’etudier . C’est un soucis, cette integrale est d’une utilisation constante en probabilites. On doit donc trouver d’autres moyens de decider de la convergence des integrales generalisees.

Convention

On se contente dans la suite d’enoncer le cas des integrales improrpes a droite. Les cas des integrales improrpes a gauche ou bilateraales est a votre charge.

Voici la proposition au centre de cette section :

Proposition

Soient f et g deux fonctions positives sur un intervalle [a,b[ ou elles sont definies et continues. On suppose que ,


[graphiquement]

Esquisse de preuve :
Les fonctions et Sont croissantes et continues. La croissance vient du fait que f, g 0.

On a donc 2 cas possibles pour chacune (dans le cas de f) :

  1. est bornee
  2. n’est pas bornee

Dans le cas (1), en revenant au cas des suites (critere sequentiel de continuite), on peut montrer que existe.
Dans le cas (2) a cause de la monotonie de f, f non bornee

Exemple :

  1. Donc converge et

on a sur , Donc est CV


  1. tel que ,


Justification :
en particulier a partir d’un certain

Donc Cv car CV.

On peut en deduire de plus que CV car Pour

Ou est une integrale bien definie et une integrale deja etudeie

Que dire de ?


Remarque :

  1. Le fait d’etre positif est essentiel dans la proposition precedente
  2. On peut relaxer cette hypothese tant que f et g dont de meme signes constant

Le resultat precendent a 2 consequences suivantes :

Proposition

Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b[ et de signes . Sur ce meme intervalle :

  1. Si alors et sont de meme natures.
  2. Si


Remarque :
La proposition suivante repose sur le fait que :

  1. signifie que tel que (au voisinage de b)
  2. , tel que (au voisinage de b)

Kit de survie

Soient f et g deux fonctions definies au voisinage d’un point a (sur un intervalle ouvert centre en a). On suppose que g n’est pas nulle sur un voisinage de a (a exclu).


Comparer f et g en a, c’est etudier le rapport f/g au voisinage de a.

  1. :
  2. :
  3. : est majore en a




Definition propre

Il existe une fonction au voisinage de a telle que

  1. :
  2. :
  3. : est majore au voisinage de a.

Exercices

  1. pour

On se limite donc au cas
On cherche une primitive de :

est une integrale impropre en 0.



En conclusion

En effectuant le meme type d’etudes on a


Aide
Comment trouver des equivalents d’une fonction de f en a dont on a un DL a l’ordre n en a.

On a eventuellement les deux points du bord qui posent probleme :

Comme sur de meme que et

est de meme nature que . C’est une integrale de Riemann CV.



Donc CV (somme de 2 integrales convergentes)

Ou est definie et CV d’apres ce qui precede.


  1. avec