Integrales Generalisees (3)

Exercices (suite)

  1. avec

Rappel (puissances)

Soit

Donc :

Sur toutes les definitions precedentes pour se confondent :

Ici on a est une fonction continue sur . L’integrale est au moins prorpe en

En 0:

Ou et

Notre integrale est donc impropre en

On cherche a justifier le fait que est comparabl e a qui est une fonction dont est CV

On veut justifier que

Comme .

C’est en particulier . Les fonctions en jeu etant positives,

CV
Ou bien definie et CV d’apres phrase du dessus


La fonction d’Euler est une fonction donnee par une integrale generalisee. On a


sur ]0, 1]

est CV donc l’est aussi

Par changement de variable,

Ou


En 0:

Du coup en ,
Ou encore

Rappel

Comme les fonctions en jeu sont positives,
est de meme nature que qui est une integrale de Riemann CV.



On a une integrale impropre en 0.

On a donc

est de meme nature que

est une integrale DV car et DV


Question:
Pour quelle valeur de est definie ?

Calculer E(X)

En :
On compare a . On a

Donc

est de meme nature que ie CV

En 0:

est de meme nature que
CV