[LOGI] Logique du premier ordre (3)

Point de vue algebrique

Equivalence semantique :
Tautologie

Equivalence Syntaxique :
et

Notation :

Exemples:

Theoreme de Godot

Dans LK au niveau on a (equiv semantique) equivaut a (equivalence syntaxique)

V F
F V
? ?
A A A A
V F V
F V V
? ? ?

Propriete

En ecrivant au lieu de ⟛ on a

Pareil avec

Propositions Algebriques :


La logique c’est algebrique

Relations binaires (paradigmes) :

  1. Booleen : (a;b) Vrai/Faux (selon situation)
  2. Ensembles :
  3. Graphes
  4. Formules logiques est verifiee

Exemples:

On definit R sur par :

Relation ensembliste sur

❤️ Paul Brian Sophie Lea
Paul 1 1 0 0
Brian 0 1 1 0
Sophie 1 0 1 0
Lea 1 1 1 0

Classifications de relations binaires

Exemple: est reflexif ( reel) est reflexif ()

Exemple:
symetrique
sur : reel n’est pas symetrique

(1 , )(mais on a pas )

n’est pas symatrique

Exemple:

sur : reel
❤️ n’etait ni symetrique ni antisymetrique

Remarque

Antireflexivite

/!\ Ce n’est pas non reflexif car

Exemple:

Exemple:
non transitif sinon tous les reels verifieraient

Vocabulaire

Etude de nos relations logiques

Etudions ⟛

Exercice:
On peut prouver que ⟛ a les memes propositions: Reflexivite [axi], Symetrie, Trensition

Relation d’equivalence !
R binaire (Reflexive, Transitive, Symetrique)

Ainsi: Equivanece syntaxique, equivalence semantique sont bien des equivalences

Theoreme de completude de Gedal

Pour la logique d’ordre 0 (calcul propositionnel)
(equivalence semantique) equivaut (equivalence syntaxique)

ssi (ordre 0)

Exemple(LK):
(tableau de verite)
et

/!\

Relation ordre

R binaire

  1. Reflexive (ordre large), Antireflexivite (ordre strict)
  2. Transitivite
  3. Antisymetrie (ordre large)