[PROBA] Probabilites discretes (1)

Experiences aleatoires et evenements

Definition (Experience aleatoire)

Une experience est qualifiee d’aleatoire si on ne peut prevoir par avance son resultat et si repetee dans des conditions identiques elle peut donner lieu a des resultats differents.

On représente le résulat d’une experience par un élément .

Exemples

Exemple 1:

On jete un de cubique equilibre, les faces sont numerotees de 1 a 6
On lit les numeros apparus sur la face superieure

Exemple 2:

On jete deux fois un de cubique et on note les numeros obtenus :

n’est pas deduit de l’experience de maniere unique

On s’interesse a la somme des points , on peut definir

Definition (Experience aleatoire)

Lorsqu’on effectue une experience aleatoire, certains faits lies a cette experience peuvent se produire ou non. On les appelle evenements.

Exemple 1:

Soit : “Le numero obtenu est pair”
est realise si

: “Le numero obtenu est superieur a 4”

et (ensemble des parties de )

Definition (Evenement impossible, contraires, incompatibles)

est realise si
: evenement certain

Soient deux evenements

Exemple 2:

Soit : “La somme des numeros obtenus est 6”


: ensemble de tous les evenements ( fini)

Espace probabilise fini

Soit un ensemble fini
ensemble des parties de

Le couple est appele espace probabilisable

evenement elementaire, par definition

Definition (Probabilite)

On appelle probabilite definie sur toute application :


Verifiant les axiomes :

: espace probabilise fini

univers
tribu
proba


Proprietes elementaires

  1. Si

Demonstrations








Formule de Poincare

espace probabilise fini
Pour toute famille d’evenements

Remarque

Si sont incompatibles 2 a 2,

Theoreme

Soit
est une probabilite sur telle que

On a alors

Reciproque

Si est une suite de reels verifiant (1) et (2)
Alors il existe une unique probabilite sur telle que :

et


Demonstration

Si est une probabilite sur

et

Or

Reciproque

Supposons (1) et (2) verifiees

Soit l’application :

:

Montrons que P est une probabilite


Si et sont deux evenements incompatibles,

P est une probabilite


Definition (Equiprobabilite)

On dit qu’il y a equiprobabilite lorsque les probabilites de tous les evenements elementaires sont egales. On dit que est une probabilite uniforme sur .

Autrement dit P(A) = mombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Demonstration

En effet,


Application

Exercice 1:

On considere une urne contenant 5 boules blanches et 5 noires. Les boules blanches sont numerotees de 1 a 5 et les noires egalement.

Decrire l’univers associe a chacune des experiences suivantes :

  1. On tire une a une 3 boules de l’urne en y remettant la boule tiree a chaque fois
  2. On tire une a une 3 boules de l’urne sans remise
  3. On tire une a une toutes les boules de l’urne sans les y remettre apres chaque tirage jusqu’a ce qu’il n’y ait plus de boules

Soit


  1. {3-listes a elements }

  2. {permutations de }