[PROBA] Probabilites discretes (3)

Probabilites conditionnelles

espace probabilise fini, ou P est la probabilite uniforme
Supposons que l’evenement A soit realise

La probabilite conditionnelle de B sachant A est definie par

Notation :

l’application

est une probabilite sur appelee probabilite conditionnelle

Remarque :

Formule des probabilites composees

Soit
Pour toute famille d’evenements de tel que

Alors on a

En effet,

Systeme complet

Definition

univers fini
On appelle systeme complet d’evenements toute famille

est une partition de l’univers

Remarque

Formule de probabilites totales

sont 2 a 2 incompatibles car

car

Formule de Bayes

En effet et

  1. un systeme complet

car


Definition (evenements independants)

A et B sont 2 evenements independants ssi

Variables aleatoires discretes

Definition (variable aleatoire)

univers fini
Toute application X definie sur a valeurs dans un ensemble E est appele variable aleatoire sur

Si alors X est appelle V.A (variable aleatoire) reelle

fini, l’ensemble des valeurs de X

Applications

Exemple 1:

Considerons le lancer de 2 des equilibres


Soit X l’application


Generalisation

Exemple 2:


Soit

On dit que est une variable aleatoire indicatrice de A

Remarque
L’ensemble des V.A discretes munies de (+) et (.) (multiplications par des scalaires) est un espace vectoriel

On le note

Definition

On appelle fonction de repartition de la variable aleatoire


Remarque
F est croissante

Moment d’une variable aleatoire

Esperance mathematique

Soit X une variable aleatoire discrete
On appelle esperance de

Remarque L’operateur E est lineaire

Definition

Soit une fonction quelconque et une variable aleatoire


Variance de X

Definition (Variance)

Soit X une variable aleatoire discrete
On appelle variance de

ecart type de
C’est une mesure de la dispersion de X autour de la valeur centrale E(X)

Remarque V n’est pas lineaire

Formule de Konig Huggheus

Definition (Moment d’ordre k)

On appelle moment d’ordre k de X

Lois de probabilites d’usage courant

Lois classiques

Loi uniforme


Esperance

Variance


Loi de Bernoulli

si un evenement A se realise avec la probabilite p
sinon (avec la probabilite )

Esperance

Variance

ou


Loi binomiale

On repete n fois l’experience de Bernoulli de maniere independante dans des conditions identiques

Soit X le nombre de realisations de l’evenement A

, suit la loi de Bernoulli
independante

Esperance

Variance

car independante