[PROBA] Probabilites discretes (4)

Loi de Poisson de parametre

C’est la loi d’une variable aleatoire entiere positive qui satisfait

On obtient la loi de Poisson comme une approximation de la loi

Theoreme

La loi converge en loi vers la loi de Poisson lorsque et

Remarque :
En pratique, des que et


Esperance

Faire apparaitre le developpement en series de l’exponentielle

Variance

Loi hypergeometrique

Soit une population de individus parmis lesquels une proportion possede un certain caractere (propriete).

On preleve un echantillon de individus dans cette population (tirage sans remise).

Soit la variable aleatoire qui represente le nombre d’individus de l’echantillon possedant le caractere

: nombre de groupes de k individus possedant le caractere

: nombre de groupes de n-k individus ne possedant pas le caractere

: nombre d’echantillons possibles

On dit que suit la loi hypergeometrique

Remarque :

En pratique, cette approximation est tres satisfaisante des que le “taux de sondage”

Loi geometrique et loi de Pascal

La loi geometrique est la loi du nombre d’essais necessaires pour faire apparaitre un evenement de probabilite p

avec

avec

La Loi de Pascal est la loi du nombre d’essais necessaire pour observer fois un evenement de probabailite .

L’experience se termine par A

Remarque : On retrouve la loi geometrique si on prend

somme independante de lois geometrique
suit la loi

car sont independantes

Rappels

Exercices

Exercice 1 :

La proportion de pieces defectueuses dans un lot de pieces est de 5%. Le controle de fabrication de pieces est tel que si la piece est bonne elle est acceptee avec la probabilite de 0.96
Si la piece est mauvaise, elle est refusee avec la probabilite de 0.98

On choisit une piece au hasard et on la controle

  1. Quelle est la probabilite qu’il y ait une erreur de controle ?
  2. Quelle est la probabilite qu’une piece acceptee soit mauvaise ?

Notation des evenements :
: “piece bonne”
: “piece acceptee”
: “erreur de controle”

Donnees de l’exercice:


  1. Quelle est la probabilite qu’il y ait une erreur de controle ?

On cherche la probabilite de E

= et
= ou

et evenements incompatibles, pas d’intersection

  1. Quelle est la probabilite qu’une piece acceptee soit mauvaise ?

On cherche la probabilite de

Formule de Bayes





Exercice 2:

On dispose de 2 des equilibres A et B
Le de A a 4 faces rouges et 2 blanches
Le de B a 2 faces rouges et 4 blanches
Les 2 des sont equilibres

On lance une piece de monnaie telle que la proba d’obtenir pile soit 1/3
Si on obtient pile, on decide de jouer uniquement avec A
Sinon, on joue uniquement avec B

  1. Calculer la probabilite d’obtenir rouge au premier coup
  2. On a obtenu rouge aux 2 premiers coups. Calculer la probabilite d’obtenir rouge au troisieme
  3. On a obtenu rouge aux n premiers roups . Determiner la probabilite d’avoir utilise A

Donnees de l’exercice
: “Obtenir pile”
: “Obtenir face”
: “Obtenir rouge”




Soit “On obtient rouge au k-ieme coup”

  1. Calculer la probabilite d’obtenir rouge au premier coup

(evenements incompatibles)



  1. On a obtenu rouge aux 2 premiers coups. Calculer la probabilite d’obtenir rouge au troisieme

On cherche la probabilite de




  1. On a obtenu rouge aux premiers roups . Determiner la probabilite d’avoir utilise

On cherche la probabilite


Exercice 3

Le nombre d’appels telephoniques a un standard suit une loi de Poisson de parametre
Supposons que pour tous les appels, il y ait une probabilite que le correspondant demande un poste

  1. Calculer la probabilite qu’il y ait k appels vers sachant qu’il y a eu appels au standard
  2. Calculer

Ou = nombre d’appels vers le standard et = nombre d’appels vers le poste

  1. Determiner la loi de

Question 1

On cherche

(loi Binomiale)
Donc suit

Question 2

Question 3


Conclusion

suit la loi de Poisson

Exercice 4

Une urne contient 9 boules blanches et 5 boules noires
On tire sans remise 3 boules

Soit la variable aleatoire : nombre de boules blanches observees

  1. Calculer et
  2. , on note l’evenement . Calculer
  3. On remet les boules noires dans l’urne et on en prend une nouvelle. Quelle est la probabilite d’obtenir une boule blanche ?

Question 1

On utilise la loi Hypergeometrique : Prelevement d’une portion de population sans remise

suit

(nombre de valeurs possibles de X)

Question 2

Rappel




Question 3