[PROBA] Probabilites Discretes (last)

Exercice

On dispose de 2 urnes et
U possede a boules blanches et b boules noires V possede b boules blanches et a boules noires

Tirage avec remise

: “Le n-ieme tirage s’effectue dans U”
: “Le n-ieme tirage s’effectue dans V”
: “La n-ieme boule tiree est blanche”

Si a l’etape n, on a tire une boule blanche, prochain tirage dans U, sinon dans V

  1. Calculer et


  1. . Trouver la relation de recurrence entre et


On cherche le point fixe

Supposons que est convergente avec sa limite
est un point fixe :



  1. Montrer que

Montrons que la suite est convergente

Posons
suite geometrique de raison

Or

Fonctions Generatrices

Definition

est une variable aleatoire definie sur un espace probabilise telle que


On definit sa fonction generatrice

Remarque

(lorsqu’elle existe)
serie entiere

Soit le rayon de convergence
Donc la serie converge sur


(rayon de CV)

Exemple

Soit qui suit la loi (Loi de Poisson)

  1. Calculer


La loi d’une variable aleatoire a valeurs dans est entierement determinee par la donnee de sa fonction generatrice

Rappel

Donc

Remarque

Si est sont deux variables aleatoires independantes

Alors

Propriete

Exercice

Determiner la fonction generatrice de qui suit (Loi geometrique)

avec


avec

Exemple

, deux variables aleatoires

suit et Y suit (Loi de Poisson)

Determiner la loi de

car X et Y sont independantes

Z suit

Formulaire

Formule de Pascal


Formule de Vandermonde

Exemple

Dans une entreprise, on a mis au point le systeme de test suivant pour verifier la qualite du produit On teste 10 produits ensemble

Si le test est positif, on accepte tous les produits
Si le test est negatif, on teste a nouveau chaque produit individuellement

On teste 50 produits par groupes

  1. Determiner , X:nombre total de tests
  2. Loi de X, E(X)

si 4 lots defectueux
si 5 lots defectueux

Soit une variable aleatoire le nombre de lots defectueux

X 5 15 25 35 45 55
Y 0 1 2 3 4 5

suit avec (Loi binomiale)

(En moyenne, l’entreprise fait 10 tests)