[PROBC] Probabilites Continues (1)

Variables aleatoires reelles

Definition (Variable aleatoire reelle)

Une variable aleatoire reelle est une application mesurable de $(\Omega, \mathcal{C}, \mathcal{P})$ dans $\mathbb{R}$, muni de sa tribu Borelienne

$\Omega$ : univers
$\mathcal{C}$ : tribu (l’ensemble de tous les evenements)
$\mathcal{P}$ : probabilite

$\mathbb{B}$ : La $\sigma$-algebre engendree par les intervalles de $\mathbb{R}$

$\forall B \in \mathbb{B}$ ($B$: borelien),
$X: (\Omega, \mathcal{C}, \mathcal{P}) \mapsto (\mathbb{R}, \mathbb{B})$

$\mathcal{P}_X(B) = \mathcal{P}(\{ \omega \in \Omega / X(\omega) \in B \})$

Tribu

Axiomes de $\mathcal{C}$

1. $\forall A \in \mathcal{C},\ \overline A \in \mathcal{C}$

2. Soit $(A_i)_{i \in I}$ famille denombrable d’evenements, $\bigcup_{i \in I} A_i \in \mathcal{C}\ (A_i \in \mathcal{C})$

3. $\varnothing \in \mathcal{C}, \Omega \in \mathcal{C}$

La $\sigma$-algebre, c’est la plus petite tribu engendree par les intervalles de $\mathbb{R}$
$\implies$ Intersection de toutes les tribus de $\mathbb{R}$

$\mathcal{P}_X(B) = \mathcal{P}(\{ \omega \in \Omega / X(\omega) \in B \}) = \mathcal{P}(\{ X^{-1}(B) \})$

Avec $X^{-1}$ image reciproque

Fonction de repartition

Definition

La fonction de repartition de $X$ est l’application $F : \mathbb{R} \mapsto [0,1]$

$F(x) = \mathcal{P}(X < x)$

$F$ est une fonction croissante et $F(-\infty) = 0$, $F(+\infty) = 1$

Variable continue

On dit qu’une variable aleatoire $X$ est a densite lorsque sa fonction de repartition $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ prive d’un ensemble fini de points.

Toute fonction $f$ a valeurs positives qui ne differe de la derivee de $F'$ qu’en un nombre fini de points est appelee densite de X.

Theoreme

Soit $X$ une variable aleatoire reelle a densite de fonction de repartition $F$

Alors $\forall x \in \mathbb{R},\ F(X) = \int^{x}_{-\infty} f(t)dt$

Demonstrationp>

Soient $a_1, a_2, ..., a_n$ les points en lesquels $F'$ n’est pas definie, avec $a_1 < a_2 < ... < a_n$

• 1er cas

$F$ est une primitive de $f$ sur $]-\infty, x]$ et $\underset{t \to -\infty}{lim} F(t) = 0$

$\int^x_{-\infty} f(t)dt = [F(t)]^x_{-\infty} = F(x)$

• 2eme cas

$a_p \leq x < a_{p+1}\ \ p \in [[1,n]]$

$\forall k \in [[1, p-1]],\ \ \ \begin{align}\int^{a_{k+1}}_{a_k} f(t)dt &= \underset{t \to a_{k+1}^-}{lim} F(t) - \underset{t \to a_k^+}{lim}F(t) \\ &= F(a_{k+1}) - F(a_k)\end{align}$

car F est continue

$\begin{align}\int^{a_1}_{a_0} f(t)dt = \int_{-\infty}^{a_1} f(t)dt &= [F(t)]_{-\infty}^{a_1} \\ &= \underset{t \to a_1^-}{lim}F(t) - F(-\infty) \\ &= F(a_1)\end{align}$

$\begin{align}\int^{x}_{a_p} f(t)dt = F(x) - F(a_p)\end{align}$

$\begin{align}\int^{x}_{-\infty} f(t)dt &= \sum^{p-1}_{k=0} \int^{a_{k+1}}_{a_k} f(t)dt + \int^{x}_{a_p}f(t)dt \\ &= F(a_1) + \sum_{k=1}^{p-1} (F(a_{k+1}) - F(a_k)) + F(x) - F(a_p) \end{align}$

$\int^{x}_{-\infty} f(t)dt = F(x)$

• Consequence

$f(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf eventuellement en un nombre fini de points

1. $F'(x) = f(x) \geq 0$ car $F$ est croissante
2. $\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt = \underset{x \to +\infty}{lim} F(x) = 1$

Applications

Exemple 1:

$f(x) = \begin{cases} cos(x)\ si\ x \in [0, \pi / 2] \\ 0\ sinon\end{cases}$

1. Verifier que $f(x)$ est une densite
2. Soit $X$ une variable aleatoire de densite $f$. Determiner la fonction de repartition $F(X)$

1. Verifier que $f(x)$ est une densite

i. $f(x) = cos(x) \geq 0\ \ \ \forall x \in [0, \pi / 2]$

ii. $\int^{}_{\mathbb{R}} f(x)dx = \int^{\pi / 2}_{0} cos(x)dx = [sin(x)]^{\pi / 2}_{0} = sin(\pi / 2) = 1$

2. Soit $X$ une variable aleatoire de densite $f$. Determiner la fonction de repartition $F(X)$

$F(x) = \int^{x}_{-\infty} f(t)dt$

• 1er cas : $x \in ]-\infty, 0]$

$F(x) = \int^x_{-\infty}f(t)dt = 0$

• 2eme cas : $x \in ]0, \pi / 2]$

$F(x) = \int^{0}_{-\infty} f(t)dt + \int^{x}_{0} f(t)dt = \int^{x}_{0} cos(t)dt = sin(x)$

• 3eme cas : $x > \pi / 2$

$F(x) = \int^{x}_{-\infty} f(t)dt = \int^{0}_{-\infty} + \int^{\pi / 2}_{0}f(t)dt + \int^{x}_{\pi / 2} f(t)dt$
$F(x) = \int^{\pi / 2}_{0} cos(t)dt = 1$

Exemple 2:

X est une variable aleatoire de densite $f$, $F$ est sa fonction de repartition

$Y = \varphi(X) = aX + b\ \ \ a \neq 0$

Determiner la loi de $Y$ Soit $G(x)$ la fonction de densite de $Y$

$G(x) = \mathcal{P}(Y < x)$

$G(x) = \mathcal{P}(aX + b < x)$

• 1er cas : a > 0

$G(x) = \mathcal{P}(X < \frac{x - b}{a}) = F(\frac{x-b}{a})$

• 2eme cas : a < 0

$G(x) = \mathcal{P}(X > \frac{x-b}{a}) = 1 - \mathcal{P}(X \leq \frac{x-b}{a}) = 1 - F(\frac{x-b}{a})$

$\begin{align}g(x) = \frac{1}{|a|} f(\frac{x-b}{a})\end{align}$

Moments d’une variable aleatoire continue

Esperance mathematique

Definition

Soit X une variable aleatoire continue de densite $f(x)$

Definition

$\begin{align}E(\varphi(X)) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) f(x) dx\end{align}$

$\varphi$ quelconque
Avec $f(x)$ = densite de $X$

Exemple (Loi de Cauchy):

Sa densite $f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{align}E(X) = \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x}{\pi (1 + x^2)} dx\end{align}$

Au voisinage de $+\infty$:
$\begin{align}\frac{x}{1 + x^2} \sim \frac{1}{x}\end{align}$

Or $\int^{+\infty}_{1} \frac{1}{x} dx$ DV car Riemann avec $\alpha = 1$

Variance de X

Definition

$\sigma = \sqrt{V(X)} \implies$ ecart-type

$V(X) = \int^{}_{\mathbb{R}} (x - E(X))^2 f(x) dx$
Si l’integrale converge