Une variable aleatoire reelle est une application mesurable de dans , muni de sa tribu Borelienne
: univers
: tribu (l’ensemble de tous les evenements)
: probabilite
: La -algebre engendree par les intervalles de
(: borelien),
Axiomes de
Soit famille denombrable d’evenements,
La -algebre, c’est la plus petite tribu engendree par les intervalles de
Intersection de toutes les tribus de
Avec image reciproque
Definition
La fonction de repartition de est l’application
est une fonction croissante et ,
On dit qu’une variable aleatoire est a densite lorsque sa fonction de repartition est continue sur et de classe sur prive d’un ensemble fini de points.
Toute fonction a valeurs positives qui ne differe de la derivee de qu’en un nombre fini de points est appelee densite de X.
Theoreme
Soit une variable aleatoire reelle a densite de fonction de repartition
Alors
Demonstrationp>
Soient les points en lesquels n’est pas definie, avec
F est une primitive de sur chaque intervalle de la forme et donc sur
est une primitive de sur et
car F est continue
est continue sur sauf eventuellement en un nombre fini de points
Exemple 1:
i.
ii.
Exemple 2:
X est une variable aleatoire de densite , est sa fonction de repartition
Determiner la loi de Soit la fonction de densite de
Si
Definition
Soit X une variable aleatoire continue de densite
Si l’integrale converge
E est lineaire
Definition
quelconque
Avec = densite de
Exemple (Loi de Cauchy):
Sa densite
Au voisinage de :
Or DV car Riemann avec
Definition
ecart-type
Si l’integrale converge