[PROBC] Probabilites Continues (1)

Variables aleatoires reelles

Definition (Variable aleatoire reelle)

Une variable aleatoire reelle est une application mesurable de dans , muni de sa tribu Borelienne

La tribu Borelienne sur un espace topologique X est la plus petite tribu sur X contenant tous les ensembles ouverts.

: univers
: tribu (l’ensemble de tous les evenements)
: probabilite

: La -algebre engendree par les intervalles de

(: borelien),


Tribu

Axiomes de

  1. Soit famille denombrable d’evenements,

La -algebre, c’est la plus petite tribu engendree par les intervalles de
Intersection de toutes les tribus de

Avec image reciproque


Fonction de repartition

Definition

La fonction de repartition de est l’application

est une fonction croissante et ,


Variable continue

On dit qu’une variable aleatoire est a densite lorsque sa fonction de repartition est continue sur et de classe sur prive d’un ensemble fini de points.

Toute fonction a valeurs positives qui ne differe de la derivee de qu’en un nombre fini de points est appelee densite de X.

sur prive de certains points

Theoreme

Soit une variable aleatoire reelle a densite de fonction de repartition

Alors

Demonstrationp>

Soient les points en lesquels n’est pas definie, avec

On note

F est une primitive de sur chaque intervalle de la forme et donc sur

est une primitive de sur et

car F est continue

est continue sur sauf eventuellement en un nombre fini de points

  1. car est croissante

Applications

Exemple 1:

  1. Verifier que est une densite
  2. Soit une variable aleatoire de densite . Determiner la fonction de repartition

  1. Verifier que est une densite

i.

ii.


  1. Soit une variable aleatoire de densite . Determiner la fonction de repartition



Exemple 2:

X est une variable aleatoire de densite , est sa fonction de repartition

Determiner la loi de Soit la fonction de densite de

Remarque : Pour les variables continues :

Si

La densite de est

Moments d’une variable aleatoire continue

Esperance mathematique

Definition

Soit X une variable aleatoire continue de densite

On appelle esperance de

Si l’integrale converge

Remarque

E est lineaire


Definition

quelconque
Avec = densite de

Exemple (Loi de Cauchy):

Sa densite

Au voisinage de :

Or DV car Riemann avec


Variance de X

Definition

On appelle variance de

ecart-type


Si l’integrale converge