[PROBC] Probabilites Continues (2)

Applications

Exercice 1:

Soit

  1. Montrer que est une densite de probabilite.

Condition pour prouver qu’une fonction est une densite

est une densite ssi

est paire, , on peut n’integrer que sur la moitie de l’intervalle

  1. Soit la variable aleatoire de densite . Determiner la fonction de repartition de .

Fonction de repartition de :



est continue sur

Sur 0:
est continue sur

  1. Calculer et .


Avec

Definition (esperance d’une loi composee)

Or impaire

Ou paire

[Rappel] Integration par parties

On pose et
Donc et

Et

Avec et

Et

Donc

Car


Exercice 2:

Le fonctionnement d’une machine est perturbe par des pannes. On considere 3 variables aleatoires

: Le temps, exprime en heures, ecoule entre la mise en route de la machine et la 1ere panne

(resp ) : Le temps en heures ecoule entre la remise en route de la machine apres la 1ere panne (resp la 2eme) panne et la suivante

Apres la 3eme panne, la machine est suspendue. sont independantes et suivant la meme loi de densite

  1. Quelle est la duree moyenne de fonctionnement entre 2 pannes consecutives ?

La duree moyenne de fonctionnement entre 2 pannes consecutives :

Ou et

Ou

Donc

  1. On appelle “Chacune des 3 periodes de fonctionnement dure plus de 2h”. Calculer


Or independance des

  1. variable aleatoire : la plus grande des 3 durees de fonctionnement. Calculer



car independants
fonction de repartition de


est continue sur

  1. Determiner une densite de .

On derive

  1. Calculer . En deduire

1ere etape : Calculer l’integrale