[PROBC] Probabilites Continues (4)

Loi de Laplace-Gauss (Loi Normale)

Sa densite est

(ecart-type)

Notation
On note ou

Soit
( est centree)
( est reduite)

est dite variable normale centree et reduite
Sa densite est


Proposition


Demonstration

Posons

Calcul de

et

Or


Calculs des moments d’une loi Normale centree-reduite

On appelle moment d’ordre de :

Si

Si


Somme de deux variables independantes

Soient et deux variables aleatoires independantes et

Theoreme

deux varaiables aleatoires independantes admettant pour densite et .
Une densite de est donnee par le produit de convolution :

Avec la densite de

Exemple :


X et Y independantes

  1. Determiner la loi de

et

si

Posons

Soit

densite de la loi

Donc

Les parametres s’aditionnent pour la loi Gamma


Convergence en probabilite et convergence en loi

Inegalite de MARKOV

Theoreme

Si est une variable aleatoire a densite admettant un moment d’ordre 2, alors

Demonstration


Inegalite de Bienaymé Tchebyschev

En effet, on applique MARKOV a la variable aleatoire


Definition (Convergence d’une suite)

Soit une suite de variables aleatoires et une variable aleatoire. On dit que converge en probabilite vers ssi :

Notation

Remarque
l’ensemble des points de divergence de la suite

Remarque
Si et alors


Si Donc


Loi faible des grands nombres

Theoreme

une suite de variables aleatoires independantes admettant une esperance et une variance

alors

: moyenne empirique

Demonstration


car les sont independants

En util utilisant l’inegalite de Tchebyschev

Donc