[PROBC] Probabilites Continues (5)

Convergence en loi

Definition

une suite de variables aleatoires de fonction de repartition et une variable aleatoire de fonction de repartition

On dut que converge en loi vers ssi ( point de continuite dans )

Notation

Theoreme

() une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi d’esperance et d’ecart-type

Soit alors on a

Remarque


Ce theoreme traduit alors on a

Remarque
La congergence en probabilite la convergence en loi

Remarque
Si la suite converge en loi vers une constante , alors on a la convergence en probabilite

Convergence en probabilite : Quand on regarde l’evenement points de divergence de la suite, donc on prouve que la probabilite de divergence de la suite = 0

Applications

Exercice 1

Soit une suite de variables aleatoires de densite

Il faut qu’on prouve que la proba

On passe par l’evenement contraire

On cherche

Donc


Exercice 2

Soit uine variable aleatoire suivant la loi exponentielle de densite :
ssi
si

une suite de variables aleatoires independantes de meme loi que

Soit

Etapes


Montrons que

Foit la fonction de repartitio de

Soit la fonction de repartition de



et independante


Donc si
si

Si
Si

Or est la fonction de repartition de

Donc


Exercice 3

Soit

  1. Verifier que est une densite de probabilite

une variable aleatoire suivant la loi exponentielle

, montrons que

Donc est une densite

  1. Soit une suite de variables aleatoires admettant pour densite. On pose . Montrer que


Si
Si

Donc

Si

Or

Donc la fonction de repartition de est

On sait que au voisinage de 0 )

Donc

Donc

Conclusion

On reconnait la fonction de repartition de la loi exponentielle

Donc suit la loi