[PROBC] Probabilites Continues (5)

Convergence en loi

Definition

une suite de variables aleatoires de fonction de repartition et une variable aleatoire de fonction de repartition

On dit que converge en loi vers ssi ( point de continuite dans )

Notation

Theoreme

() une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi d’esperance et d’ecart-type

Soit alors on a

Remarque

Ce theoreme traduit alors on a

Remarque La congergence en probabilite la convergence en loi

Remarque Si la suite converge en loi vers une constante , alors on a la convergence en probabilite

Convergence en probabilite : Quand on regarde l’evenement points de divergence de la suite, donc on prouve que la probabilite de divergence de la suite = 0

Applications

Exercice 1

Soit une suite de variables aleatoires de densite

Il faut qu’on prouve que la proba

On passe par l’evenement contraire

On cherche

Donc


Exercice 2

Soit une variable aleatoire suivant la loi exponentielle de densite : ssi si

une suite de variables aleatoires independantes de meme loi que

Soit

Etapes

Foit la fonction de repartitio de

Soit la fonction de repartition de

et independante

Donc si si

Si Si

Or est la fonction de repartition de

Donc


Exercice 3

Soit

  1. Verifier que est une densite de probabilite

une variable aleatoire suivant la loi exponentielle

, montrons que

Donc est une densite

  1. Soit une suite de variables aleatoires admettant pour densite. On pose . Montrer que

Donc

Or

Donc la fonction de repartition de est

On sait que au voisinage de 0 )

Donc

Donc

Conclusion

On reconnait la fonction de repartition de la loi exponentielle

Donc suit la loi