Definition
une suite de variables aleatoires de fonction de repartition et une variable aleatoire de fonction de repartition
On dit que converge en loi vers ssi ( point de continuite dans )
Notation
Theoreme
() une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi d’esperance et d’ecart-type
Soit alors on a
Ce theoreme traduit alors on a
Convergence en probabilite : Quand on regarde l’evenement points de divergence de la suite, donc on prouve que la probabilite de divergence de la suite = 0
Exercice 1
Soit une suite de variables aleatoires de densite
Il faut qu’on prouve que la proba
On passe par l’evenement contraire
On cherche
Donc
Exercice 2
Soit une variable aleatoire suivant la loi exponentielle de densite : ssi si
une suite de variables aleatoires independantes de meme loi que
Soit
Etapes
Foit la fonction de repartitio de
Soit la fonction de repartition de
et independante
Donc si si
Si Si
Or est la fonction de repartition de
Donc
Exercice 3
Soit
une variable aleatoire suivant la loi exponentielle
, montrons que
Donc est une densite
Si
Si
Donc
Or
Donc la fonction de repartition de est
On sait que au voisinage de 0 )
Donc
Donc
Conclusion
On reconnait la fonction de repartition de la loi exponentielle
Donc suit la loi