Series entieres (1)

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Objectifs

Encoder des familles de grandeurs discretes

Fonction generatrice d’une loi binomiale

Experience aleatoire qui consiste a jeter une piece n fois. La proba d’obtenir pile etant . On note X le nombre de fois qu’on obtient pile. Proba que X soit egale a s’ecrit :

k parmi n : le nombre k de fois qu’on a pile parmis n jets de piece

X est la variable aleatoire (nombre de pile) -> X((P, F)) = 1 Donc P(X=1) : combien de fois X renvoie k

Les donnees P(X=k) caracterisent completement la variable aleatoire X. Une maniere de stocker l’information relative a l’ensemble des valeurs de la loi de X est de construire le polynome :

C’est ce qu’on appelle la fonction generatrice de X

Comprendre une variable aleatoire passe en particulier par le fait de comprendre son esperance et sa variance, respectivement donnees par :

Esperance: somme pour chaque etudiant de sa note que je multiplie par la probabilite que j’obtienne cette note


Calculer E(X)

Rappel (calcul k parmi n) :

On derive G (on veut drop les puissances)

Fonction generatrice d’une loi geometrique

On s’interesse a l’experience aleatoire consistant a jeter une piece autant de fois qu’on le souhaite, la probabilite d’obtenir pile est . On note Y la variable aleatoire correspondant a la premiere fois ou l’on obitent pile. La loi de Y s’exprime pour tout par :

Si on souhaite exrire la fonction generatrice de Y, on retrouve les symboles (pour l’instant depourvus de sens) :

Cette ecriture en polynome infini est qualifiee de serie entiere


Justifier informellement la relation suivante

Rappel (suite geometrique)

Ici,

Si

Alors

En faisant une serie entiere, on prend une suite de # (ex: ) qu’on transforme en polynome infini, donc en serie entiere (ici ) on calcule des sommes des termes de ces suites

En deduire expression pour l'esperance de Y, ecrite

La notion de serie entiere

Definition (Serie entiere)

On se donne une suite de nombres reels . On appelle serie entiere la suite des sommes partielles associee a une suite de fonctions de la forme , elle est notee . Sur le lieu des valeurs de ou converge on note :

La fonction qui a associe la limite de la serie numerique

Exemple fondamental des series entieres : la serie geometrique

Si

La suite converge ou diverge ?

:

Trouver des series respectivement de rayons de convergence 0, 1, 2 et

Trouver des series convergentes :