Series Entieres (2)

Rappel

Serie entiere

Une serie entiere est une serie de fonctions de la forme suivante

On s’interesse aux fonctions que l’on decrit comme limites de ces series.

Exemple : Suite geometrique

Soit ,
Si ne converge pas
Si
Si ne converge pas


Lieu de congergence

En general, pour une serie entiere , le lieu de convergence prend la forme suivante:

R est le rayon de convergence

Rayon de convergence

Comment calculer le rayon de convergence d’une serie ?

A ce stade, on a rien d’autre que le test.

Remarque :

  1. Si CV pour r, alors elle CV necessairement sur
  2. S’il existe tel que CV et DV, alors r est le rayon de

Trouver des series respectivement de rayons de convergence 0, 1, 2 et

Exemple de series entieres :

CV ssi

Trouver des series convergentes :

Convergence aux bords :

Est-elle de rayon de CV 1 ?

Critere de d’Alembert

Critere de d’Alembert pour les series numeriques

Soit une serie numerique avec Pour n suffisamment grand :

Calculer le rayon de convergence avec le Critere de d’Alembert

On peut faire appel au critere de d’Alembert pour etudier la convergence d’une serie entiere. On s’interesse au rapport

On a


-> Moyen qui permet de calculer le rayon de convergence d’une serie entiere

Critere de d’Alembert

Soit une serie entiere, On suppose que les sont non nuls a partir d’un certain rang et que le rapport CV vers . Le rayon de convergence de est egal a si et sinon.

Exemple (Critere de d’Alembert) :



Soit , on etudie la serie numerique
Si
On suppose que tend vers M quand

Critere de Cauchy

Critere de Cauchy

Soit une serie entiere, On suppose que CV vers . Le rayon de convergence de est egal a si et sinon.

Utile quand il n’y a pas de rang a partir duquel les sont tous non nuls (ex: )

Exemple (Critere de Cauchy) :

Calculer avec le critere de Cauchy :

Quel est le rayon de CV de

Definition (Suites numeriques equivalentes) :

Deus suites numeriques et
On suppose que les a partie d’un certain rang sont :

C’est le cas si a une limite
Equivalentes si elles se comportent de la meme maniere en

Proposition :

Soient et deux series entieres reelles respectivement de rayon de convergence et

Exemple :



n’a pas de limite mais est bornee ()


Developper series entieres

Developpement en series entiere (DSE) : On ecrit une fonction comme somme / limite de series entieres

Resultat : Si 2 series entieres sont egales sur un intervalle ouvert, elles ont le meme coefficient

D’apres le resultat precedent :

On cherche a calculer

Calculer :




Donc
Ainsi


Si est solution de valant 1 en 0 alors c’est :

C’est une serie entiere de rayon de convergence . Par unicite de la solution a valant 1 en 0, on a :