Series entieres (3)

Additionner des series entieres

Proposition

Soient et deux series entieres de rayons des convergence et . On note leur somme .

Le rayon de convergence et pour tout (en particulier )


Exemple 1 (CVA)

Et on a et
Donc les sommes partielles de sont majores, d’ou la CVA.

Exemple 2 (serie nulle)
Soient et de rayon de CV 1. La somme de ces 2 series est la serie nulle, de rayon de convergence .

Multiplier des series entieres

Proposition

Soient et 2 series entieres respectivement de rayons de convergence et . On note la serie entiere produit des deux premieres.

Le rayon de convergence et pour tout (en particulier )


On connait l’ecriture de la fonction exponentielle comme limite de serie entiere. Montrer que pour tout

Primitives de series entieres

Soit une serie entiere de rayon de CV R > 0. f limite de s sur ]-R, R[


Est-ce que f admet une primitive sur ]-R, R[


Remarque
Savoir si f a une primitive et en donner une expression revient a etudier la question de l’integrabilite et des integrales de f


Rappel (Integrales et primitives)

Theoreme fondamental de l’analyse

Une primitive de f est la fonction
En particulier

Integrales de series entieres


Y a-t-il un lien entre la suite des integrales des sommes partielles

et (pour peu que cela existe)

Ou f est la limite de la serie entiere

Proposition

Soit une serie entiere de rayon de CV R. f la limite de , definie sur ]-R,R[. La fonction f est integrable sur [a, b] et

Corollaire

La fonction f admet une primitive sur ]-R,R[ decrite par la serie entiere

: primitive dont la variable est x

Calculer la limite de la serie numerique


On note la limite de la serie entiere , si est la primitive de A valant 0 en 0, on a est egal a la valeur de la serie numerique qu’on cherche a calculer.

Ou prend la forme de l’evaluation d’une primitive en un point

car sur

Deriver une serie entiere

Proposition

Soit une serie entiere de rayon de CV R. f la limite de , definie sur . La fonction f est derivable sur [a, b] et

La serie entiere est de rayon de convergence R.

Corollaire

La serie entiere est infiniment derivable sur son disque de convergence.


Applications

Quel est le DSE des fonctions suivantes :


Donc



Decrire des fonctions usuelles comme series entieres

Les fonctions developpables en series entieres

Definition

Une fonction f est devellopable en serie entiere au point s’il existe R > 0 tel que pour tout

Remarque
Quitte a effectuer un changement de variable

Proposition
Une fonction devellopable en serie entiere en un point est infiniment derivable sur son disque de convergence centre en

Proposition
Si une fonction admet un DSE en , les coefficients de ce DSE sont exactement ceux de la serie de Taylor a tout ordre de f en .

Rappel (Coefficient de la serie de Taylor en )
Si f est developpable en series entieres en , on a

Ou est le coef de la serie de Taylor de f en
En particulier en 0,

Le DSE des series entieres en zero

Demonstration pour sin(x) et cos(x)

En realite, les series entieres ont le droit d’avoir une variable complexe.


Pour trouver les DSE de cos(t) et sin(t), il faut identifier les parties reelles et imaginaires de


Trouver une expression pour le DSE en 0 de pour a > 0


et

Or

Ou est la formule de Newton

En reinjectant :